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分位数(ぶんいすう)、分位点(ぶんいてん)、分位値(ぶんいち)、クォンタイル (quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 $q,\backslash \; 0\; \backslash le\; q\; \backslash le\; 1$ に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を $q\; :\; 1\; -\; q\backslash ,$ に分割する値である。

ある種の正の整数 $m$ に対し、分布を $m$ 等分する $m\; -\; 1$ 個の値、つまり、$i\; =\; 1,\; \backslash cdots,\; m\; -\; 1$ に対する $i\; /\; m$ 分位数を、m 分位数(ただし $m$ は漢数字)という。$i\; =\; 1,\; \backslash cdots,\; m\; -\; 1$ 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、$m$ 等分された分布の $k\; =\; 1,\; \backslash cdots,\; m$ 番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k 分位という。

◆定義

◇変量統計における分位数

$n$ 個のデータ $x$ に対する q 分位数 $Q\_q$ は、昇順にソートしたデータを $x\_1\; \backslash le\; x\_2\; \backslash le\; \backslash dots\; \backslash le\; x\_n$ とすると、

:$Q\_q\; =\; x(1\; -\; q\; +\; q\; n)\backslash ,$

:$x(t)\; =\; \backslash begin$

x_t, & \mbox t \in \mathbb \\

(\lceil t \rceil - t) x_ + (t - \lfloor t \rfloor) x_, & \mbox t \notin \mathbb

\end

と定義される。ここで、$\backslash lfloor\; \backslash cdot\; \backslash rfloor$ は床関数、$\backslash lceil\; \backslash cdot\; \backslash rceil$ は天井関数、$\backslash mathbb$ は自然数の集合である。

関数 $x(t),\backslash \; 1\; \backslash le\; t\; \backslash le\; n$ は、数列 $x\_$ の線形補間による実数関数への拡張である。関数 $x(\backslash cdot)$ の引数 $1\; -\; q\; +\; q\; n$ は、範囲 $[外部リンク]\; n$ を $q\; :\; 1\; -\; q\backslash ,$ に内分している。

◇確率分布の分位数

1次元確率分布 $\backslash varphi(x)$ に対する q 分位数 $Q\_q$ は、

:$\backslash int\_^\backslash varphi(x)\backslash ,\; dx\; \backslash ge\; q,\backslash \; \backslash int\_^\backslash infty\; \backslash varphi(x)\backslash ,\; dx\; \backslash ge\; q$

を満たす値として定義される。この式は、累積密度関数 $\backslash Phi(x)$ または確率 $P(X)$ を使って、

:$\backslash int\_^d\backslash Phi(x)\backslash \; \backslash ge\; q,\backslash \; \backslash int\_^\backslash infty\; d\backslash Phi(x)\backslash \; \backslash ge\; q$ または

:$P(X\; \backslash le\; Q\_q)\; \backslash ge\; q,\backslash \; P(X\; \backslash ge\; Q\_q)\; \backslash ge\; q$

とも表せる。

◆特別な分位数

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

◇中央値

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

◇四分位数

$q\; /\; 4$ 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数(第1四分位数)を下側四分位数、3 / 4 分位数(第3四分位数)を上側四分位数ともいう。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布のばらつきを表すのに使われる。

第1・第3四分位数の差 $Q\_-\; Q\_\backslash ,$ は、四分位数範囲 (IQR) といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

$IQR\; /\; 2$ を四分位数偏差、$IQR\; /\; IQR\_\backslash approx\; IQR\; \backslash times\; 0.7413$ を正規四分位数範囲といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、$IQR\_\backslash approx\; 1.3490$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位数範囲は、標準偏差に等しい。なお一般には、係数0.7413が近似値に使われることが多い。

◇三分位数・五分位数・十分位数

$q\; /\; 3$ 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

$q\; /\; 5$ 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

$q\; /\; 10$ 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

◇パーセンタイル

$q\; /\; 100$ 分位数を、q パーセンタイル、(第)q 百分位数、(第)q 百分位点、(第)q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

$1\; -\; q\; /\; 100$ 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、$q\; /\; 100$ 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、$1\; /\; 2\; +\; q\; /\; 200$ 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

◇最大値・最小値

0分位数は最小値、1分位数は最大値である。

◆五数要約

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、第1・第3四分位数の5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

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