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数学において、行列(ぎょうれつ、matrix)とは、ある固定された環の元を矩形(長方形)状に並べたものである。特に、すべての成分が実数の行列を実行列、すべての成分が複素数の行列を複素行列という。

同じサイズの行列の集合はアーベル群の構造を持ち、更に同じサイズの正方行列全体はひとつの環をなすので、行列の集合それ自体が代数学の対象である。また、行列は線形写像の表示手段として数学の様々な場面で現れ、数学を道具とする自然科学や工学の各分野でも基本的な道具としての位置を占める。

行列の起源は連立一次方程式の解法にある。例えば、加減法とも呼ばれる方程式の解法を定式化したものとして行列の基本変形や、それによるガウスの消去法などのアルゴリズムが挙げられる。これは三角化・対角化や逆行列の計算などに広範に適用できる。

◆ 用語

次のような行列 A を考える。

:$$

A =

\begin

a_ & a_ & a_ & a_\\

a_ & a_ & a_ & a_\\

a_ & a_ & a_ & a_\\

\end

行列 A に並ぶ量 a₁₁、a₁₂、a₂₁、...を行列の成分あるいは要素 (element) と呼ぶ。(係数と呼ぶこともある。)

行列の横方向に並んだ要素を行 (row) と呼び、縦方向に並んだ要素を列 (column) と呼ぶ。行列の i 行目、j 列目の要素を特に行列の (i, j) 要素と呼ぶ。例えば上記行列 A の (1,2) 要素は a₁₂ である。

行列に含まれる行の数が m、列の数が n である時に、その行列を m 行 n 列行列や m×n 行列と呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数を合わせて型という。したがってm 行 n 列行列のことを (m, n) 型行列などと呼ぶこともある。

要素を環 R に持つ行列のことを R 上の行列という。

行列 A の i 行目の成分だけを並べたベクトル(第 i 行ベクトル)を a_i = ( a_i1, a_i2, a_i3,a_i4) とすれば、行列 A は、

:$$

A =

\begin

\mathbf_1\\

\mathbf_2\\

\mathbf_3\\

\end

と表現できるので、行列はベクトルを並べたものと考えることもできる。同様に第 j 列成分のみを並べてできるベクトル(第 j 列ベクトル) b_j を並べて

:$A\; =\; (\backslash mathbf\_1,\; \backslash mathbf\_2,\; \backslash mathbf\_3,\; \backslash mathbf\_4)$

と書くこともできる。

◆ 行列の和・差

m 行 n 列の行列同士の和(差)を、各要素同士の和(差)と定める。

◇ 和・差の計算例

:$$

A =

\begin

5 & 6 \\

7 & 8 \\

\end

\quad

B =

\begin

1 & 2 \\

3 & 4 \\

\end

の時に、A + B と A - B は、

:$$

A + B =

\begin

5 + 1 & 6 + 2 \\

7 + 3 & 8 + 4 \\

\end

=

\begin

6 & 8 \\

10 & 12 \\

\end

:$$

A - B =

\begin

5 - 1 & 6 - 2 \\

7 - 3 & 8 - 4 \\

\end

=

\begin

4 & 4 \\

4 & 4 \\

\end

◆ 行列の積

行列の積を初めて定義したのはアーサー・ケーリーである。

l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = AB の (i, j) 成分 c_ij は、

:$c\_=\; \backslash sum\_^a\_b\_$

で与えられる。

n が 1 より大きな時には、n × n 行列 A と B に対して要素同士が可換であっても、一般に AB と BA は等しくならない。

◇ 積の計算例

:$$

A =

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